Ein 17-jähriges Mädchen widerlegt eine vor 40 Jahren aufgestellte mathematische Vermutung.

Hannah Cairo steckte bei einer Matheaufgabe fest. Sie konnte nur an ein paar Wochen denken und beschloss, einen neuen Ansatz auszuprobieren. „Nach Monaten des Bemühens, das Ergebnis zu beweisen, verstand ich endlich, warum es so schwierig war. Mir wurde klar, dass ich die Behauptung vielleicht widerlegen könnte, wenn ich diese Informationen richtig anwendete. Nach mehreren Fehlversuchen fand ich schließlich einen Weg, ein Gegenbeispiel zu konstruieren [einen Fall, der die untersuchte Eigenschaft nicht bestätigt und zeigt, dass sie nicht allgemeingültig ist].“ Ciaro erklärt, dass sie dafür verschiedene Werkzeuge benötigte, darunter auch Fraktale, und alles sehr sorgfältig anordnen musste. „Es dauerte eine Weile, bis ich Ruixiang Zhang [den Professor für das Fach, in dem das Problem gestellt wurde] davon überzeugen konnte, dass mein Vorschlag tatsächlich richtig war“, sagt Cairo.

Es stellte sich als wahr heraus, und damit löste Cairo die sogenannte Mizohata-Takeuchi-Vermutung , ein Problem, das in den 1980er Jahren aufgestellt worden war und an dem die Harmonik-Analyse-Community jahrzehntelang gearbeitet hatte. Obwohl allgemein erwartet wurde, dass die Vermutung zutrifft – denn damit wären auch andere wichtige Ergebnisse auf diesem Gebiet automatisch gelöst –, begrüßte die Community das Ergebnis mit Begeisterung. Und mit Überraschung: Die Autorin war ein 17-jähriges Mädchen, das noch keinen Highschool-Abschluss hatte.

„Als ich von Nassau [Bahamas, wo er geboren wurde] in die USA zog, begann ich mein Studium als Gymnasiast, obwohl ich Kurse an der UC Berkeley besuchte. Ich schrieb Professoren, erzählte ihnen, welche Bücher ich zu diesem Thema gelesen hatte, und fragte, ob ich ihre Kurse besuchen könnte. Viele sagten zu, darunter auch Zhang“, sagt er. „Eines Tages schlug er vor, als Hausaufgabe einen speziellen, viel einfacheren Fall der Vermutung zu beweisen. Als Wahlpflichtteil stellte er die ursprüngliche Vermutung auf. Und ich war davon besessen“, fügt er hinzu.

Die Mizohata-Takeuchi-Vermutung fällt in das Gebiet der harmonischen Analyse, die versucht, Funktionen in einfachere Komponenten, wie beispielsweise Sinusfunktionen, zu zerlegen. Heute ist sie ein hochaktuelles Forschungsgebiet und hat sich zu einem grundlegenden Werkzeug in zahlreichen Anwendungen entwickelt, von der Komprimierung digitaler Audio- und Videodateien bis hin zum Entwurf von Telekommunikationssystemen.

Die Harmonische Analyse entstand im frühen 19. Jahrhundert mit der Arbeit des französischen Mathematikers Joseph Fourier an der Wärmefunktion, einer partiellen Differentialgleichung, die die Wärmediffusion in einem festen Körper beschreibt. Seine revolutionäre Idee war es, diese komplexe Funktion in die Summe von Sinus und Cosinus zu zerlegen. Diese als Fourierreihen bekannte Technik eröffnete ein neues Verständnis physikalischer und mathematischer Phänomene. „In der Theorie der Harmonischen Analyse besteht alles aus Wellen. Mit der richtigen Anzahl an Wellen lässt sich alles damit bauen“, beschreibt Cairo.

Die eingeschränkte Fourieranalyse untersucht, welche Objekte man erhalten kann, wenn man nur mit einer kleinen Anzahl von Wellen beginnt. „Es lassen sich nur bestimmte Dinge konstruieren, und es ist sehr schwer zu verstehen, welche. Die Mizohata-Takeuchi-Vermutung besagt, dass man, wenn man nur bestimmte Wellentypen verwendet, eine Form aus Linien erhält“, erklärt er.

„Nachdem ich das erste Gegenbeispiel erhalten hatte, versuchte ich, das gesamte Problem im Frequenzraum neu zu formulieren. Dabei beobachtete ich, wie meine Konstruktion aussah. Dann wurde mir klar, dass es in Wirklichkeit einen anderen, viel einfacheren Weg gab, ein Gegenbeispiel zu entwerfen“, erklärt sie zufrieden in einem der Räume der Residenz San José in El Escorial, wo vom 9. bis 13. Juni der 12. Internationale Kongress für Harmonische Analysis und Partielle Differentialgleichungen stattfand, der vom Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT) und der Autonomen Universität Madrid organisiert wurde. Die Veranstaltung, bekannt als „El Escorial Meetings“ , hat sich in ihrer fast 50-jährigen Geschichte zu einer der renommiertesten auf diesem Gebiet entwickelt.

Dies ist Cairos erste internationale Forschungsreise. Sie ist vor zwei Wochen in Barcelona gelandet, und seitdem ist dies ihre vierte Konferenz. „Es ist eine wunderbare Erfahrung, Zeit mit anderen Menschen zu verbringen, die Mathematik lieben“, sagt sie. Auf der Konferenz in El Escorial hielt sie einen Vortrag des Programms. Und sie fühlte sich keineswegs unsicher, sondern genoss es. Cairo spricht gern vor Publikum. Sie liebt es, andere Studierende zu unterrichten – manchmal ältere als sie. Ihre Berufung, sagt sie, sei es, „anderen Menschen zu helfen und sie glücklich zu machen“. Und seit sie denken kann, ist sie von Mathematik fasziniert.

Sie begann, selbst komplizierte Lehrbücher zu diesem Thema zu lesen. „Ich wollte immer Mathematikerin werden, aber ich wusste nicht wirklich, was das bedeutet, bis ich abstrakte Algebra aus Büchern lernte. Es ist lustig, denn abstrakte Algebra ist das Gegenteil der Mathematik, die ich heute mache. Eigentlich dachte ich zuerst, ich würde Zahlentheorie studieren. Mit dreizehn oder vierzehn schrieb ich eine Arbeit über Zahlentheorie, aber sie behandelte ein Problem, das niemanden interessierte“, erinnert sie sich lachend.

Während der COVID-19-Pandemie musste das Sommercamp des Berkeley Math Circle – ein Treffen, bei dem Studierende im Vorstudium gemeinsam schwierige Matheaufgaben lösen, ähnlich dem Small Institute of Mathematics (PIM) des ICMAT – online stattfinden. Dadurch konnte sich Cairo von den Bahamas für den Kurs anmelden. „In Mathekreisen geht es darum, Ideen zu erforschen und mit Freunden zu teilen; sie sind nicht wie Schulmathematik, wo man auswendig lernen muss. Die Arbeit ähnelt dem Malen eines Bildes mit eigenen Ideen. Es geht nicht darum, ein greifbares Ziel zu erreichen, sondern einfach darum, Dinge zu verstehen, Fragen zu stellen, und es ist auch eine tolle Möglichkeit, Freunde zu finden“, beschreibt sie.

Der Programmdirektor erkannte Cairos außergewöhnliches mathematisches Talent – ​​ein weiteres Ziel dieser Art von Aktivität ist es, Menschen mit einem besonderen mathematischen Talent zu identifizieren und ihr Interesse und ihre Fähigkeiten zu fördern – und schlug ihr vor, in späteren Ausgaben Professorin zu werden. Sie tat es. An ihrer neuen Universität in Maryland, wo sie nächstes Jahr ihre Promotion beginnt, hofft sie nun, ihre eigene Gruppe gründen zu können.

Dort wird sie unter der Aufsicht von Zhang weiterarbeiten. „Er hat mir sehr geholfen, und ich bin ihm sehr dankbar. Neben seinem Unterricht, den ich sehr mochte, hat er mir unzählige Stunden Nachhilfe gegeben“, erinnert sie sich. Auch in Spanien will das neue Mathematik-Intensivprogramm (MIP) des ICMAT solche Karrieren fördern.

Ágata Timón García-Longoria ist Koordinatorin der Abteilung für Mathematische Kultur am ICMAT.

„Kaffee und Theoreme“ ist ein Bereich, der sich der Mathematik und ihrem Entstehungsumfeld widmet und vom Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT) koordiniert wird. Hier beschreiben Forscher und Mitglieder des Zentrums die neuesten Fortschritte in dieser Disziplin, erläutern Gemeinsamkeiten zwischen Mathematik und anderen sozialen und kulturellen Ausdrucksformen und erinnern an diejenigen, die ihre Entwicklung geprägt und Kaffee in Theoreme verwandelt haben. Der Name erinnert an die Definition des ungarischen Mathematikers Alfred Rényi: „Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.“