Un tableau noir « Carrollien »

Les 6 cigarettes à contact complet de la semaine dernière peuvent être améliorées avec la disposition montrée sur la figure, dans laquelle une septième cigarette est insérée dans un creux central formé par les autres.

Ce qui n'a pas été démontré (à ma connaissance), c'est que 7 est le maximum possible (bien qu'il ait été démontré que la solution de la figure n'est pas unique, comme nous le verrons plus tard).

Quant aux cigarettes – ou cylindres – de longueur infinie (la variante a été proposée par le mathématicien britannique John Littlewood), elles n’ont pas mérité l’attention de mes lecteurs astucieux, puisqu’elles n’ont fourni aucune solution. Même si ce n'était peut-être pas une question d'attention, mais de difficulté, car il faut reconnaître que ce n'est pas du tout facile : la figure montre une solution à 6 cylindres, considérée comme insurmontable jusqu'à récemment, deux solutions différentes ont été trouvées avec 7 cylindres (ce qui, évidemment, est également le cas pour les cigarettes finies). En regardant attentivement la figure et en partant de celle-ci, vous pouvez trouver l’une de ces solutions ; Mais armez-vous de patience, car même si savoir que cela existe rend les choses plus faciles, cela reste très difficile.

Et en passant des cylindres rigides aux cylindres flexibles, un problème simple pour compenser la difficulté des précédents :

Nous avons une bande élastique de 1 mètre de long avec une section circulaire de 2 mm de diamètre. Si on l'étire jusqu'à ce que sa section ait 1 mm de diamètre, et en supposant que la déformation soit uniforme sur toute la longueur du caoutchouc, quelle est sa longueur actuelle ? Et une fois que vous avez trouvé la solution, essayez de la « cuisiner ».

La relation entre l'étirement et le retrait est appelée coefficient de Poisson et, dans la plupart des matériaux, elle est positive (plus l'étirement est important, plus le retrait est important) ; Mais certains matériaux, appelés auxétiques, ont un coefficient de Poisson négatif, ce qui signifie qu'ils se dilatent lorsqu'ils sont étirés.

Les matériaux auxétiques synthétiques, tels que le polytétrafluoroéthylène expansé (commercialisé sous le nom de Gore-Tex, entre autres marques), ont de nombreuses applications et, par coïncidence (bien qu'en mathématiques et en physique macroscopique rien ne soit une coïncidence), un nombre maximal de fils (des cylindres infinis, à des fins pratiques) en contact mutuel est la base de la fabrication de mailles auxétiques, ce qui a conduit les chercheurs à rechercher ce maximum possible. Ce qui s'est avéré être 7, comme ils l'ont découvert avant les mathématiciens.

Un tableau noir non euclidien ?

Les deux filles de l'illustration principale de la semaine dernière ne semblent pas très douées en mathématiques, à en juger par ce qu'elles ont écrit au tableau. Mais ne les jugeons pas trop vite : ils peuvent être exprimés en des termes non conventionnels, mais cela ne signifie pas qu’ils sont faux. Ou peut-être ont-ils été le sujet d'une blague mathématique concoctée par Lewis Carroll lui-même, qui aime tant dérouter les jeunes filles avec ses absurdités apparentes. Est-il possible que l’égalité 180 = 90 + 30 ait du sens ?

En revanche, la somme des angles d’un triangle ne fait que 180º dans le plan euclidien ; sur une autre surface, ils peuvent totaliser plus ou moins de deux angles droits (pouvez-vous dessiner – ou décrire – un triangle dont les angles totalisent 270º ?).

Quant au triangle sur le tableau, nous savons qu'il est rectangle car nous voyons la marque habituelle de l'angle caché, mais pas sa valeur (seul le 0 final est visible) ; mais nous voyons la valeur des aigus : 40º et 30º respectivement. Est-il possible de donner à l'angle droit caché une valeur qui donne un sens à la figure ?

Et à partir de l'illustration de la semaine dernière, nous pouvons passer au texte pour poser un petit méta-problème : quelle raison logique pourrait-il y avoir pour que le correcteur orthographique automatique mette en italique le nom de Poisson, le célèbre mathématicien et physicien français ?