Estudante resolve um problema antigo sobre os limites da adição

A versão original desta história apareceu na Quanta Magazine .

As ideias mais simples da matemática também podem ser as mais desconcertantes.

Vejamos a adição. É uma operação simples: uma das primeiras verdades matemáticas que aprendemos é que 1 mais 1 é igual a 2. Mas os matemáticos ainda têm muitas perguntas sem resposta sobre os tipos de padrões que a adição pode gerar. "Esta é uma das coisas mais básicas que você pode fazer", disse Benjamin Bedert , um estudante de pós-graduação da Universidade de Oxford. "De alguma forma, ainda é muito misterioso em muitos aspectos."

Ao investigar esse mistério, os matemáticos também esperam compreender os limites do poder da adição. Desde o início do século XX, eles estudam a natureza dos conjuntos "sem soma" — conjuntos de números em que nenhum dos dois números do conjunto se soma a um terceiro. Por exemplo, some quaisquer dois números ímpares e você obterá um número par. O conjunto dos números ímpares é, portanto, sem soma.

Em um artigo de 1965, o prolífico matemático Paul Erdős fez uma pergunta simples sobre a frequência com que conjuntos livres de soma são encontrados. Mas, durante décadas, o progresso no problema foi insignificante.

“É algo que parece muito básico, mas que tínhamos uma compreensão surpreendentemente pequena”, disse Julian Sahasrabudhe , um matemático da Universidade de Cambridge.

Até fevereiro deste ano. Sessenta anos depois de Erdős propor seu problema, Bedert o resolveu. Ele demonstrou que, em qualquer conjunto composto por números inteiros — os números positivos e negativos contáveis ​​—, há um grande subconjunto de números que deve ser independente de soma . Sua demonstração penetra nas profundezas da matemática, aprimorando técnicas de campos distintos para revelar estruturas ocultas não apenas em conjuntos independentes de soma, mas em todos os tipos de outros cenários.

“É uma conquista fantástica”, disse Sahasrabudhe.

Erdős sabia que qualquer conjunto de inteiros deve conter um subconjunto menor e livre de soma. Considere o conjunto {1, 2, 3}, que não é livre de soma. Ele contém cinco subconjuntos diferentes e livres de soma, como {1} e {2, 3}.

Erdős queria saber até onde esse fenômeno se estende. Se você tem um conjunto com um milhão de inteiros, qual é o tamanho do seu maior subconjunto sem soma?

Em muitos casos, é enorme. Se você escolher um milhão de números inteiros aleatoriamente, cerca de metade deles serão ímpares, resultando em um subconjunto sem soma com cerca de 500.000 elementos.

Em seu artigo de 1965, Erdős mostrou — em uma prova de apenas algumas linhas e aclamada como brilhante por outros matemáticos — que qualquer conjunto de N inteiros tem um subconjunto livre de soma de pelo menos N /3 elementos.

Ainda assim, ele não estava satisfeito. Sua prova tratava de médias: ele encontrou uma coleção de subconjuntos sem soma e calculou que seu tamanho médio era N /3. Mas, em tal coleção, os maiores subconjuntos são normalmente considerados muito maiores do que a média.

Erdős queria medir o tamanho desses subconjuntos extragrandes sem soma.

Os matemáticos logo levantaram a hipótese de que, à medida que seu conjunto aumenta, os maiores subconjuntos livres de soma se tornarão muito maiores que N /3. De fato, o desvio aumentará infinitamente. Essa previsão — de que o tamanho do maior subconjunto livre de soma é N /3 mais algum desvio que cresce até o infinito com N — é agora conhecida como a conjectura dos conjuntos livres de soma.

“É surpreendente que esta questão simples pareça apresentar dificuldades consideráveis”, escreveu Erdős no seu artigo original, “mas talvez estejamos a ignorar o óbvio”.

Durante décadas, nada de óbvio se revelou. Ninguém conseguiu melhorar a prova de Erdős. "Quanto mais tempo passava sem que as pessoas conseguissem melhorar esse limite simples, mais prestígio esse problema adquiria", disse Ben Green , orientador de doutorado de Bedert em Oxford. E, acrescentou, esse era precisamente o tipo de problema em que "é muito, muito difícil fazer algo melhor".

Após 25 anos sem melhorar o resultado original de Erdős, os matemáticos finalmente começaram a avançar lentamente. Em 1990, dois pesquisadores provaram que qualquer conjunto de N inteiros possui um subconjunto sem soma com pelo menos N /3 + 1/3 elementos, mais comumente escrito como ( N + 1)/3.

Mas, como o tamanho de um conjunto é sempre um número inteiro, um aumento de 1/3 costuma ser irrelevante. Por exemplo, se você sabe que um subconjunto sem soma precisa ter pelo menos 5/3 elementos, isso significa que seu tamanho é garantido como 2 ou mais. Se você adicionar 1/3 a 5/3, sua resposta ainda será 2. "É engraçado, significa que nem sempre o melhora", disse David Conlon, do Instituto de Tecnologia da Califórnia. "É somente quando N é divisível por 3 que ele o melhora."

Em 1997, a lenda da matemática Jean Bourgain elevou o limite para ( N + 2)/3. O resultado pode ter parecido pouco digno de menção, mas escondido no artigo de Bourgain estava um avanço surpreendente. Ele descreveu uma ideia de como provar que os maiores subconjuntos livres de soma seriam arbitrariamente maiores do que isso. Ele simplesmente não conseguia definir os detalhes para transformá-la em uma prova completa.

“O artigo é quase algo como: foi assim que tentei resolver o problema e por que não funcionou”, disse Sahasrabudhe.

Bourgain baseou-se em uma grandeza chamada norma de Littlewood, que mede a estrutura de um determinado conjunto. Essa grandeza, que vem de um campo da matemática chamado análise de Fourier, tende a ser grande se um conjunto for mais aleatório e pequena se o conjunto exibir mais estrutura.

Bourgain demonstrou que, se um conjunto com N elementos tem uma norma Littlewood grande, então ele também deve ter um conjunto sem soma muito maior que N /3. Mas ele não conseguiu progredir no caso em que o conjunto tem uma norma Littlewood pequena.

"Bourgain é notoriamente competente", disseSean Eberhard, da Universidade de Warwick. "É um indicador impressionante da complexidade deste problema."

Bourgain acabou tendo que usar um argumento diferente para chegar ao seu limite de ( N + 2)/3. Mas os matemáticos leram nas entrelinhas: eles poderiam usar a norma de Littlewood para resolver completamente a conjectura. Eles só precisavam descobrir como lidar com conjuntos com uma norma de Littlewood pequena.

Havia motivos para otimismo: os matemáticos já conheciam conjuntos com uma norma de Littlewood pequena que possuíam subconjuntos massivos sem soma. Esses conjuntos, chamados progressões aritméticas, consistem em números uniformemente espaçados, como {5, 10, 15, 20}. Os matemáticos suspeitavam que qualquer conjunto com uma norma de Littlewood pequena tivesse uma estrutura muito específica — que fosse mais ou menos uma coleção de muitas progressões aritméticas diferentes (com alguns ajustes). Eles esperavam que, se conseguissem demonstrar isso, seriam capazes de usar essa propriedade para provar que qualquer conjunto com uma norma de Littlewood pequena possui um subconjunto grande sem soma.

Mas essa tarefa não foi fácil. "Eu certamente tentei provar a conjectura da ausência de soma usando as ideias [de Bourgain]", disse Green, mas "ainda não entendemos muito sobre a estrutura de conjuntos com norma de Littlewood pequena. Tudo relacionado a Littlewood é difícil."

E assim, embora os matemáticos continuassem a ter fé na estratégia de Bourgain baseada em Littlewood, nada aconteceu.

Mais de duas décadas se passaram. Então, no outono de 2021, Benjamin Bedert iniciou a pós-graduação.

Com Green como seu orientador de doutorado, era inevitável que Bedert se deparasse com a conjectura dos conjuntos sem soma. O site de Green lista 100 problemas em aberto ; este aparece primeiro.

Bedert examinou a lista logo após iniciar sua pós-graduação. A princípio, ele se esquivou do problema dos conjuntos sem soma. "Eu pensei: 'Isso é superdifícil, não vou pensar nisso'", lembrou. "Vou deixar isso para o futuro."

O futuro chegou logo. No verão de 2024, Bedert decidiu que estava pronto para um projeto mais arriscado. "Eu já havia comprovado alguns resultados razoavelmente bons no meu doutorado e já tinha elaborado uma tese", disse ele. "Comecei a pensar nesses problemas, acho, mais notórios."

Ele leu o artigo de Bourgain de 1997 e começou a refletir sobre como implementar o modelo de Littlewood. Quase imediatamente, teve uma ideia de como abordar o problema de conjuntos com uma norma de Littlewood pequena.

Até então, tinha sido muito difícil demonstrar que conjuntos com uma norma de Littlewood pequena sempre se assemelham a coleções de progressões aritméticas. Mas Bedert achou que seria útil provar algo mais factível: que, mesmo que esses conjuntos não sejam literalmente construídos a partir de progressões aritméticas, eles compartilham certas propriedades fundamentais, semelhantes às de uma progressão.

Em um projeto recente, Bedert encontrou o que considerou um bom candidato para uma propriedade na qual se concentrar. Em progressões aritméticas, existem muitos grupos de números que têm a mesma soma. Por exemplo, no conjunto dos números pares (que é uma progressão aritmética), 4 + 8 tem a mesma soma que 2 + 10 e 2 + 4 + 6. Bedert pensou que talvez fosse suficiente mostrar que conjuntos com uma norma de Littlewood pequena sempre obedecem a essa propriedade.

Em poucas semanas, ele conseguiu provar que a propriedade era verdadeira. Mas será que o resultado lhe daria o nível de similaridade com progressões aritméticas necessário para provar a conjectura dos conjuntos sem soma?

"Eu estava definitivamente animado", disse ele. "Então percebi que ainda havia muito trabalho a ser feito."

Primeiro, Bedert demonstrou que qualquer conjunto com uma norma de Littlewood pequena poderia ser "mapeado" para um segundo conjunto que se assemelhasse ainda mais a progressões aritméticas. Ele suspeitava que seria nesses novos conjuntos que encontraria grandes subconjuntos livres de soma.

A tarefa final era mostrar qual seria o tamanho de um subconjunto sem soma. "Durante as férias de Natal, fiquei pensando obsessivamente neste problema", disse Bedert. "No Ano Novo, eu ainda não tinha encontrado a peça final do quebra-cabeça."

Então, alguns dias depois de retornar a Oxford em janeiro, a ideia lhe ocorreu. "Não sei bem de onde surgiu", disse ele. "Talvez essas ideias fervilhem na sua mente por um tempo, e então [você] finalmente consegue algo que funcione."

Ele representou a estrutura de seus conjuntos usando uma ferramenta chamada transformada de Fourier e, em seguida, modificou uma demonstração de 1981 para mostrar que alguns dos componentes individuais dessa representação devem ter uma norma Littlewood grande. Como Bourgain já havia demonstrado como lidar com conjuntos com normas Littlewood grandes, isso completou a demonstração.

No final, Bedert demonstrou que qualquer conjunto de N inteiros possui um subconjunto livre de soma com pelo menos N /3 + log(log N ) elementos. Para muitos valores de N , isso resulta em um subconjunto livre de soma que é apenas ligeiramente maior que o tamanho médio de Erdős, de N /3. Mesmo que N seja tão grande quanto ¹⁰¹⁰⁰ , por exemplo, log(log N ) é apenas em torno de 5. Mas, à medida que N se aproxima do infinito, a diferença entre os limites de Bedert e Erdős também aumenta — estabelecendo assim a conjectura.

"É um resultado realmente incrível", disse Yifan Jing, da Universidade Estadual de Ohio. Jing, que também foi orientado por Green, atribui a conquista ao foco intenso de Bedert. "Benjamin realmente se aprofundou para modificar a prova de Bourgain e fazê-la funcionar", disse ele. "Ele dedica muito mais tempo do que outras pessoas ao mesmo problema."

Ainda há mais a entender sobre subconjuntos livres de soma — e, portanto, sobre até que ponto a adição influencia a estrutura dos inteiros. Por exemplo, o resultado de Bedert resolve a questão de se o maior subconjunto livre de soma se torna infinitamente maior que N /3. Mas os matemáticos não sabem exatamente com que rapidez esse desvio pode crescer. Graças a um artigo de 2014 de Green e dois colegas, eles sabem que o desvio cresce mais lentamente do que N. Mas, disse Green, "ainda há uma lacuna enorme" entre esse limite superior de N e o limite inferior de Bedert, de log(log N ).

O trabalho também oferece novos insights sobre conjuntos que possuem uma norma Littlewood pequena. Tais conjuntos são objetos fundamentais no campo da análise, mas são muito difíceis de estudar. O resultado de Bedert ajudou os matemáticos a entender melhor sua estrutura, que Green e outros agora esperam continuar a explorar. "É lindo, é interessante, parece natural", disse Eberhard. "Você quer resolver um mistério, não é?"

Para Sahasrabudhe, a conclusão é simples. "Um problema antigo e difícil resolvido por um garoto brilhante", disse ele. "O material em que ele está trabalhando é sutil e difícil de trabalhar. É um resultado realmente bonito."

História original reimpressa com permissão da Quanta Magazine , uma publicação editorialmente independente da Fundação Simons cuja missão é aumentar a compreensão pública da ciência cobrindo desenvolvimentos e tendências de pesquisa em matemática e ciências físicas e biológicas.