Een 17-jarig meisje weerlegt een wiskundig vermoeden dat 40 jaar geleden werd geopperd.

Hannah Cairo zat vast met een wiskundeopgave. Ze kon alleen maar denken aan een paar weken en besloot een nieuwe aanpak te proberen. "Na maandenlang te hebben geprobeerd het resultaat te bewijzen, begreep ik waarom het zo moeilijk was. Ik besefte dat ik de bewering misschien zou kunnen weerleggen als ik die informatie correct gebruikte. Uiteindelijk, na verschillende mislukte pogingen, vond ik een manier om een ​​tegenvoorbeeld te construeren [een geval dat de onderzochte eigenschap niet bevestigt en aantoont dat deze over het algemeen niet waar is]." Ciaro zegt dat er verschillende hulpmiddelen voor nodig waren, waaronder fractals, en dat ze alles heel zorgvuldig moest ordenen. "Het kostte me een tijdje om Ruixiang Zhang [de professor van het vak waarin de opgave was gesteld] ervan te overtuigen dat mijn voorstel wel degelijk klopte," zegt Cairo.

Het bleek te kloppen, en daarmee loste Cairo de zogenaamde Mizohata-Takeuchi-hypothese op, een probleem dat in de jaren 80 werd geopperd en waar de harmonische analysegemeenschap al tientallen jaren aan werkte. Hoewel algemeen werd verwacht dat het klopte – en zo ja, dan zouden andere belangrijke resultaten in het vakgebied automatisch worden opgelost – werd het resultaat met enthousiasme ontvangen. En met verbazing: de auteur was een 17-jarig meisje dat nog niet klaar was met de middelbare school.

"Toen ik vanuit Nassau [de Bahama's, waar hij geboren is] naar de VS verhuisde, kwam ik als middelbare scholier in het onderwijs terecht, hoewel ik colleges volgde aan UC Berkeley. Ik schreef professoren aan om te vertellen welke boeken ik over het onderwerp had gelezen en of ik hun colleges mocht bijwonen. Velen zeiden ja, waaronder Zhang," zegt hij. "Op een dag stelde hij voor om als huiswerkopdracht een speciaal, veel eenvoudiger geval van de veronderstelling te bewijzen. Als optioneel onderdeel presenteerde hij de oorspronkelijke veronderstelling. En ik raakte erdoor geobsedeerd," voegt hij eraan toe.

De Mizohata-Takeuchi-hypothese valt binnen het gebied van harmonische analyse, dat probeert functies te ontbinden in eenvoudigere componenten, zoals sinusoïdale functies. Tegenwoordig is het een zeer populair onderzoeksgebied en tevens een fundamenteel instrument geworden in tal van toepassingen, van het comprimeren van digitale audio- en videobestanden tot het ontwerpen van telecommunicatiesystemen.

Harmonische analyse ontstond begin 19e eeuw met het werk van de Franse wiskundige Joseph Fourier over de warmtefunctie, een partiële differentiaalvergelijking die de diffusie van warmte in een vast lichaam beschrijft. Zijn revolutionaire idee was om deze complexe functie te ontbinden als een som van sinussen en cosinussen. Deze techniek, bekend als Fourierreeksen, opende de deur naar een nieuwe manier om natuurkundige en wiskundige verschijnselen te begrijpen. "In de theorie van harmonische analyse bestaat alles uit golven. Je kunt er alles mee bouwen, als je maar het juiste aantal golven gebruikt", beschrijft Cairo.

Beperkte Fourieranalyse onderzoekt welke soorten objecten kunnen worden verkregen als we beginnen met slechts een kleine set golven. "Alleen bepaalde dingen kunnen worden geconstrueerd, en het is erg moeilijk te begrijpen welke. De Mizohata-Takeuchi-hypothese stelt dat als je alleen bepaalde soorten golven gebruikt, je een vorm van lijnen krijgt", legt hij uit.

"Toen ik eenmaal het eerste tegenvoorbeeld had gevonden, probeerde ik het hele probleem in de frequentieruimte te herformuleren. En ik observeerde hoe mijn constructie eruit zag, op deze manier. Toen besefte ik dat er in werkelijkheid een andere, veel eenvoudigere manier was om een ​​tegenvoorbeeld te ontwerpen," verklaart ze tevreden in een van de zalen van de San José Residence in El Escorial, waar van 9 tot en met 13 juni het 12e Internationale Congres over Harmonische Analyse en Partiële Differentiaalvergelijkingen plaatsvond, georganiseerd door het Instituut voor Wiskundige Wetenschappen (ICMAT) en de Autonome Universiteit van Madrid. Het evenement, bekend als de El Escorial Meetings , is in zijn bijna 50-jarige geschiedenis uitgegroeid tot een van de meest prestigieuze in het vakgebied.

Dit is Cairo's eerste internationale wetenschappelijke reis. Ze landde twee weken geleden in Barcelona en dit is haar vierde conferentie sindsdien. "Het is een geweldige ervaring om tijd door te brengen met andere mensen die van wiskunde houden", zegt ze. Op de conferentie in El Escorial gaf ze een van de lezingen van het programma. En, verre van verlegen te zijn, genoot ze ervan. Cairo houdt van spreken in het openbaar. Ze vindt het geweldig om andere studenten les te geven – soms zelfs ouder dan zij. Haar roeping, zegt ze, is "om andere mensen te helpen, om ze gelukkig te maken." En zolang ze zich kan herinneren, is ze gefascineerd door wiskunde.

Ze begon zelf ingewikkelde leerboeken over het onderwerp te lezen. "Ik wilde altijd al wiskundige worden, maar ik wist niet echt wat het inhield totdat ik abstracte algebra uit boeken leerde. Het is grappig, want abstracte algebra is het tegenovergestelde van de wiskunde die ik nu doe. Eigenlijk dacht ik eerst dat ik getaltheorie zou gaan doen. Toen ik dertien of veertien was, schreef ik een paper over getaltheorie, maar die ging over een probleem waar niemand zich druk om maakte," herinnert ze zich lachend.

Tijdens de COVID-19-pandemie moest het Berkeley Math Circle- zomerkamp – een bijeenkomst waar pre-universitaire leerlingen samen moeilijke wiskundige problemen oplossen, vergelijkbaar met het Small Institute of Mathematics (PIM) van ICMAT – online plaatsvinden. Hierdoor kon Cairo, afkomstig uit de Bahama's, zich inschrijven voor de cursus. "Bij wiskundecirkels draait het om het verkennen en delen van je ideeën met vrienden; het is niet zoals wiskunde op school, waarbij je moet memoriseren. Het werk is vergelijkbaar met het schilderen van een beeld met je ideeën. Het gaat niet om het bereiken van een tastbaar doel, maar gewoon om het begrijpen van dingen, het stellen van vragen, en het is ook een geweldige manier om vrienden te maken", beschrijft ze.

De programmadirecteur erkende Cairo's buitengewone wiskundige talent – ​​een ander doel van dit soort activiteiten is om mensen met een speciaal talent voor wiskunde te identificeren en hun interesse en vaardigheden te stimuleren – en stelde voor dat ze in volgende edities hoogleraar zou worden. Dat deed ze. Nu, aan haar nieuwe universiteit in Maryland, waar ze volgend jaar haar doctoraat begint, hoopt ze haar eigen groep op te richten.

Daar zal ze haar werk voortzetten, onder begeleiding van Zhang. "Hij heeft me enorm geholpen en ik ben hem daar erg dankbaar voor. Naast zijn lessen, waar ik enorm van heb genoten, heeft hij me talloze uren bijles gegeven", herinnert ze zich. In Spanje richt het nieuwe Mathematics Intensive Program (MIP) van ICMAT zich ook op het identificeren en ondersteunen van dit soort carrières.

Ágata Timón García-Longoria is coördinator van de eenheid Wiskundige Cultuur bij ICMAT.

Koffie en Stellingen is een sectie gewijd aan wiskunde en de omgeving waarin deze tot stand komt, gecoördineerd door het Instituut voor Wiskundige Wetenschappen (ICMAT). In deze sectie beschrijven onderzoekers en leden van het centrum de nieuwste ontwikkelingen in dit vakgebied, delen ze raakvlakken tussen wiskunde en andere sociale en culturele uitingen, en herdenken ze degenen die de ontwikkeling ervan vormgaven en wisten hoe ze koffie konden omzetten in stellingen. De naam doet denken aan de definitie van de Hongaarse wiskundige Alfred Rényi: "Een wiskundige is een machine die koffie omzet in stellingen."