17-letnia dziewczyna obala hipotezę matematyczną wysuniętą 40 lat temu.

Hannah Cairo utknęła nad zadaniem matematycznym. Wszystko, o czym mogła myśleć, to kilka tygodni i postanowiła wypróbować nowe podejście. „Po miesiącach prób udowodnienia wyniku, udało mi się zrozumieć, dlaczego było to takie trudne. Zrozumiałam, że jeśli wykorzystam te informacje poprawnie, mogę być w stanie obalić twierdzenie. W końcu, po kilku nieudanych próbach, znalazłam sposób na skonstruowanie kontrprzykładu [przypadku, który nie weryfikuje badanej własności i który pokazuje, że generalnie nie jest ona prawdziwa]”. Ciaro mówi, że wymagało to kilku narzędzi, w tym fraktali, i musiała wszystko bardzo ostrożnie zorganizować. „Zajęło mi trochę czasu, aby przekonać Ruixiang Zhang [profesora przedmiotu, w którym postawiono problem], że moja propozycja jest faktycznie poprawna”, mówi Cairo.

Okazało się to prawdą i dzięki temu Cairo rozwiązało tzw. hipotezę Mizohaty-Takeuchiego , problem zaproponowany w latach 80., nad którym społeczność zajmująca się analizą harmoniczną pracowała przez dziesięciolecia. Chociaż powszechnie oczekiwano, że będzie to prawda — jeśli tak, inne ważne wyniki w tej dziedzinie zostaną automatycznie rozwiązane — społeczność przyjęła wynik z entuzjazmem. I ze zdziwieniem: jego autorką była 17-letnia dziewczyna, która jeszcze nie ukończyła szkoły średniej.

„Kiedy przeprowadziłem się do USA z Nassau [Bahamy, gdzie się urodził], wstąpiłem do systemu edukacyjnego jako uczeń szkoły średniej, chociaż uczęszczałem na zajęcia na UC Berkeley. Pisałem do profesorów, mówiąc im, jakie książki przeczytałem na ten temat i pytając, czy mogę uczestniczyć w ich zajęciach. Wielu odpowiedziało twierdząco, w tym Zhang” – mówi. „Pewnego dnia zaproponował udowodnienie szczególnego, znacznie prostszego przypadku hipotezy jako zadanie domowe. Jako część opcjonalną przedstawił oryginalną hipotezę. I stałem się nią zafascynowany” – dodaje.

Przypuszczenie Mizohaty-Takeuchiego mieści się w dziedzinie analizy harmonicznej, która próbuje rozłożyć funkcje na prostsze komponenty, takie jak funkcje sinusoidalne. Obecnie jest to bardzo gorący obszar badań i stał się również podstawowym narzędziem w licznych zastosowaniach, od kompresji cyfrowych plików audio i wideo po projektowanie systemów telekomunikacyjnych.

Analiza harmoniczna narodziła się na początku XIX wieku wraz z pracą francuskiego matematyka Josepha Fouriera nad badaniem funkcji ciepła, równania różniczkowego cząstkowego opisującego dyfuzję ciepła w ciele stałym. Jego rewolucyjnym pomysłem było rozłożenie tej złożonej funkcji jako sumy sinusów i cosinusów. Technika ta, znana jako szereg Fouriera, otworzyła drzwi do nowego sposobu rozumienia zjawisk fizycznych i matematycznych. „W teorii analizy harmonicznej wszystko składa się z fal. Możesz zbudować z nich wszystko, jeśli użyjesz odpowiedniej liczby fal”, opisuje Cairo.

Ograniczona analiza Fouriera bada, jakie rodzaje obiektów można uzyskać, jeśli zaczniemy od małego zestawu fal. „Można skonstruować tylko pewne rzeczy i bardzo trudno zrozumieć, które z nich. Hipoteza Mizohaty-Takeuchiego głosi, że jeśli użyjesz tylko pewnych rodzajów fal, otrzymasz kształt złożony z linii” – wyjaśnia.

„Gdy już uzyskałam pierwszy kontrprzykład, próbowałam przeformułować cały problem w przestrzeni częstotliwości. I obserwowałam, jak wygląda moja konstrukcja w ten sposób. Wtedy zdałam sobie sprawę, że w rzeczywistości istnieje inny, znacznie prostszy sposób zaprojektowania kontrprzykładu” – oświadcza zadowolona w jednym z pokoi Rezydencji San José w El Escorial, gdzie od 9 do 13 czerwca odbywał się 12. Międzynarodowy Kongres Analizy Harmonicznej i Równań Różniczkowych Cząstkowych , zorganizowany przez Instytut Nauk Matematycznych (ICMAT) i Autonomiczny Uniwersytet w Madrycie. Wydarzenie, znane jako Spotkania El Escorial , stało się w swojej prawie 50-letniej historii jednym z najbardziej prestiżowych w tej dziedzinie.

To pierwsza międzynarodowa podróż naukowa Kairu. Dwa tygodnie temu wylądowała w Barcelonie i od tamtej pory jest to jej czwarta konferencja. „To wspaniałe doświadczenie spędzać czas z innymi ludźmi, którzy kochają matematykę” – mówi. Na konferencji w El Escorial wygłosiła jedno z wykładów programu. I, daleka od poczucia skrępowania, po prostu to lubiła. Kair lubi przemawiać publicznie. Uwielbia uczyć innych studentów – czasami starszych od siebie. Jej powołaniem, jak mówi, jest „pomaganie innym ludziom, sprawianie im radości”. I odkąd pamięta, fascynowała się matematyką.

Zaczęła sama czytać skomplikowane podręczniki na ten temat. „Zawsze chciałam być matematyczką, ale tak naprawdę nie wiedziałam, co to znaczy, dopóki nie nauczyłam się algebry abstrakcyjnej z książek. To zabawne, ponieważ algebra abstrakcyjna jest przeciwieństwem matematyki, którą zajmuję się teraz. Właściwie na początku myślałam, że będę zajmować się teorią liczb. Kiedy miałam trzynaście lub czternaście lat, napisałam pracę na temat teorii liczb, ale dotyczyła ona problemu, który nikogo nie obchodził” – wspomina ze śmiechem.

Podczas pandemii COVID-19 letni obóz Berkeley Math Circle — spotkanie, na którym studenci przeduniwersyteccy wspólnie rozwiązują trudne problemy matematyczne, podobnie jak w Small Institute of Mathematics (PIM) ICMAT — musiał odbyć się online. Dzięki temu Cairo z Bahamów mogła zapisać się na kurs. „Kółka matematyczne dotyczą eksploracji i dzielenia się pomysłami ze znajomymi; nie są jak matematyka szkolna, gdzie trzeba zapamiętywać. Praca przypomina malowanie obrazu za pomocą swoich pomysłów. Nie chodzi o osiągnięcie namacalnego celu, ale po prostu o zrozumienie rzeczy, zadawanie pytań, a także o świetny sposób na nawiązywanie przyjaźni” — opisuje.

Dyrektor programu docenił niezwykły talent matematyczny Cairo — innym celem tego typu aktywności jest identyfikacja osób ze szczególnym talentem do matematyki oraz pielęgnowanie ich zainteresowań i zdolności — i zasugerował, aby w kolejnych edycjach została profesorem. Tak też zrobiła. Teraz, na swoim nowym uniwersytecie w Maryland, gdzie w przyszłym roku rozpocznie doktorat, ma nadzieję założyć własną grupę.

Tam będzie kontynuować pracę pod nadzorem Zhanga. „Bardzo mi pomógł i jestem mu bardzo wdzięczna. Poza zajęciami, które uwielbiałam, poświęcił mi niezliczone godziny korepetycji” – wspomina. W Hiszpanii nowy program Mathematics Intensive Program (MIP) ICMAT również stara się identyfikować i wspierać kariery tego typu.

Ágata Timón García-Longoria jest koordynatorem Jednostki Kultury Matematycznej w ICMAT.

Coffee and Theorems to sekcja poświęcona matematyce i środowisku, w którym jest tworzona, koordynowana przez Institute of Mathematical Sciences (ICMAT). W tej sekcji badacze i członkowie centrum opisują najnowsze osiągnięcia w tej dziedzinie, dzielą wspólne obszary matematyki i innych społecznych i kulturowych wyrazów oraz wspominają tych, którzy kształtowali jej rozwój i potrafili przekształcać kawę w twierdzenia. Nazwa przywołuje definicję węgierskiego matematyka Alfreda Rényi: „Matematyk to maszyna, która przekształca kawę w twierdzenia”.